正規直交基底の構築 (2)

Pixar の方法

Duff et al. [2017] では，Frisvad の方法の問題点と改善案を提示している．特異点付近で大きな誤差が生じることから，行列式が負になることもあり，誤った座標フレームが使用される．\(n_{z}\) が \(-1\) に近くない場合は適切に動作することから，\(n_{z}\lt 0\) の場合は \(-n\) のフレームを計算し，その結果を反転することで対処している．

Frisvad の方法では，基底は次のように定義される.

\[ \begin{align*} \vec{b}_{1} &= \left( 1 - \frac{n^{2}_{x}}{1 + n_{z}}, - \frac{n_{x} n_{y}}{1 + n_{z}}, - n_{x} \right)^{\mathsf{T}}\\ \vec{b}_{2} &= \left( - \frac{n_{x} n_{y}}{1 + n_{z}}, 1 - \frac{n^{2}_{y}}{1 + n_{z}}, - n_{y} \right)^{\mathsf{T}}\\ \vec{n} &= \left( n_{x}, n_{y}, n_{z} \right)^{\mathsf{T}} \end{align*} \]

\(n_{z}\lt 0\) の場合は，\(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\) に \(-\vec{n}\) を代入し，\(\vec{b}_{2}\) を反転すると次のようになる.

\[ \begin{align*} \vec{b}_{1} &= \left( 1 - \frac{n^{2}_{x}}{1 - n_{z}}, - \frac{n_{x} n_{y}}{1 - n_{z}}, n_{x} \right)^{\mathsf{T}}\\ \vec{b}_{2} &= \left( \frac{n_{x} n_{y}}{1 - n_{z}}, \frac{n^{2}_{y}}{1 - n_{z}} - 1, - n_{y} \right)^{\mathsf{T}}\\ \vec{n} &= \left( n_{x}, n_{y}, n_{z} \right)^{\mathsf{T}} \end{align*} \]

ノート

四元数を基礎として得られた接ベクトルの方向の一貫性を失う.

実装は次のようになる.

// Listing 2. The code of Listing 1, revised to avoid catastrophic cancellation.
void revisedONB(const Vec3f &n, Vec3f &b1, Vec3f &b2)
{
    if(n.z<0.){
        const float a = 1.0f / (1.0f - n.z);
        const float b = n.x * n.y * a;
        b1 = Vec3f(1.0f - n.x * n.x * a, -b, n.x);
        b2 = Vec3f(b, n.y * n.y*a - 1.0f, -n.y);
    }
    else{
        const float a = 1.0f / (1.0f + n.z);
        const float b = -n.x * n.y * a;
        b1 = Vec3f(1.0f - n.x * n.x * a, b, -n.x);
        b2 = Vec3f(b, 1.0f - n.y * n.y * a, -n.y);
    }
}

// Listing 3. A branchless version of Listing 2, using copysignf to eliminate the test.
void branchlessONB(const Vec3f &n, Vec3f &b1, Vec3f &b2)
{
    float sign = copysignf(1.0f, n.z); // n.z>=0.0f ? 1.0f : -1.0f
    const float a = -1.0f / (sign + n.z);
    const float b = n.x * n.y * a;
    b1 = Vec3f(1.0f + sign * n.x * n.x * a, sign * b, -sign * n.x);
    b2 = Vec3f(b, sign + n.y * n.y * a, -n.y);
}

Comparing ONB Accuracy で違いを確認するには，次の箇所を変更しコンパイルする.

/**
 * 0: frisvad vs max
 * 1: frisvad vs pixar
 * 2: max vs pixar
 */
#define COMPARISON_MODE 1

Pros and Cons

• Pros
  • Frisvad の方法と遜色のない速度を維持する
  • 特異点がなく平均誤差も小さい
• Cons
  • 四元数を基礎として得られた接ベクトルの方向の一貫性を失う
    接空間の \(z\) 軸に対称な分布に適用するような場合は問題ない

References

• Duff, T., Burgess, J., Christensen, P., Hery, C., Kensler, A., Liani, M., & Villemin, R. (2017). Building an orthonormal basis, revisited. Journal of Computer Graphics Techniques (JCGT), 6(1), 1–8. http://jcgt.org/published/0006/01/01/