この方法は基底を構築しない．
1 鏡映を利用する方法
Comparing ONB Accuracy で助言を頂いたので整理をする．
mla, 2025-01-12 Interesting. Simpler to derive Frisvad’s equation with a 3D reflection rather than using quaternions (given unit vectors p,q, reflection in plane with normal p-q exchanges p and q).
ベクトルの鏡映は次のように定義される．
\[ \boldsymbol{r} =\boldsymbol{v} - 2 (\boldsymbol{v}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \hat{\boldsymbol{n}} \]
一般的な場合から考える．
\[ \begin{align*} \boldsymbol{q} &=\boldsymbol{p} - 2 (\boldsymbol{p}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \hat{\boldsymbol{n}}\\ &=\boldsymbol{p} - 2 \left(\boldsymbol{p}\cdot\frac{\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}}{\|\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}\|}\right) \frac{\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}}{\|\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}\|}\\ &=\boldsymbol{p} - 2 \left(\frac{\|\boldsymbol{p}\|^{2} - \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}}{\|\boldsymbol{p}\|^{2} + \|\boldsymbol{q}\|^{2} - 2 \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}}\right) (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}) \end{align*} \]
ここで \(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}\) を単位ベクトルとすると，次のように \(\boldsymbol{p}\) と \(\boldsymbol{q}\) を交換する式になっていることがわかる．
\[ \boldsymbol{q} =\boldsymbol{p} - \left(\frac{1 - \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}}{1 - \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}}\right) (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}) =\boldsymbol{q} \]
特異点は \(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{q}\) となるが，交換は不要ということに他ならない．単位ベクトルであることを強調すると次のようになる．
\[ \hat{\boldsymbol{q}} =\hat{\boldsymbol{p}} - 2 (\hat{\boldsymbol{p}}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \hat{\boldsymbol{n}} =\hat{\boldsymbol{p}} - \left(\hat{\boldsymbol{p}}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{p}} - \hat{\boldsymbol{q}}}{1 - \hat{\boldsymbol{p}}\cdot\hat{\boldsymbol{q}}}\right) (\hat{\boldsymbol{p}} - \hat{\boldsymbol{q}}) =\hat{\boldsymbol{q}} \]
この交換式を使って \(\hat{\boldsymbol{s}}=(0,0,1)^{\mathsf{T}}\) から \(\hat{\boldsymbol{t}}\) への回転とするならば，
\[ \begin{align*} \boldsymbol{\omega} &={}_{\perp}\boldsymbol{\omega} - 2 ({}_{\perp}\boldsymbol{\omega}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \hat{\boldsymbol{n}}\\ &={}_{\perp}\boldsymbol{\omega} - 2 \left({}_{\perp}\boldsymbol{\omega}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{s}} - \hat{\boldsymbol{t}}}{\|\hat{\boldsymbol{s}} - \hat{\boldsymbol{t}}\|}\right) \frac{\hat{\boldsymbol{s}} - \hat{\boldsymbol{t}}}{\|\hat{\boldsymbol{s}} - \hat{\boldsymbol{t}}\|}\\ &={}_{\perp}\boldsymbol{\omega} - \left(\frac{{}_{\perp}\boldsymbol{\omega}\cdot(\hat{\boldsymbol{s}} - \hat{\boldsymbol{t}})}{1 - \hat{t}_{z}}\right) (\hat{\boldsymbol{s}} - \hat{\boldsymbol{t}})\\ \end{align*} \]
\(\hat{t}_{z}=1\) のときに特異点となるが，これは \(\hat{\boldsymbol{s}}=\hat{\boldsymbol{t}}\) なので回転は不要ということに他ならない．
1.1 Issues
接空間の \(z\) 軸に対称な分布に適用するような場合は問題なさそうに見えるが，Frisvad の方法に合わせるなら対応が必要になるのではないだろうか？
見通しをよくするため 2 次元で考える．
\(\hat{\boldsymbol{s}}\) に対する \({}_{\perp}\boldsymbol{\omega}\) と \(\hat{\boldsymbol{t}}\) に対する \(\boldsymbol{\omega}\) は直感に反している．図とベクトルの鏡映式を眺めると，\({}_{\perp}\boldsymbol{\omega}\) をある平面に対して反転させる必要があるようだ．
ある平面の法線ベクトル \(\hat{\boldsymbol{m}}\) は次のようになる．
\[ \begin{align*} \boldsymbol{m} &=\hat{\boldsymbol{n}} - (\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \hat{\boldsymbol{s}}\\ \hat{\boldsymbol{m}} &= \begin{cases} \frac{\boldsymbol{m}}{\|\boldsymbol{m}\|} & |\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}|\lt 1\\ \boldsymbol{0} & \text{otherwise} \end{cases} \end{align*} \]
その平面に対して反転すると次のようになる．
\[ {}_{\perp}\boldsymbol{\omega}^{'} = \begin{cases} {}_{\perp}\boldsymbol{\omega} - 2 (\hat{\boldsymbol{m}}\cdot{}_{\perp}\boldsymbol{\omega}) \hat{\boldsymbol{m}} & |\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\hat{\boldsymbol{t}}|\lt 1\\ {}_{\perp}\boldsymbol{\omega} & \text{otherwise} \end{cases} \]
ベクトルの鏡映式に代入すると，直感に従った結果を得る．
\[ \boldsymbol{\omega}^{'} ={}_{\perp}\boldsymbol{\omega}^{'} - 2 ({}_{\perp}\boldsymbol{\omega}^{'}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \hat{\boldsymbol{n}} \]
2 Acknowledgements
鏡映を利用する方法を共有して頂いた mla 氏に感謝いたします．
3 References
- Wikipedia contributors. (2024, November 5). Reflection (mathematics). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Reflection_(mathematics)&oldid=1255601321