概要#

複素数における回転の表現と補間について簡単に整理をする。

回転の表現#

定義は

$e^{\theta\mathbb{i}}$ はオイラーの公式¹で

補間の方法#

$p=a+b\mathbb{i}, \hspace{3pt} q=c+d\mathbb{i} \in \mathbb{C}_1$ 間を $h \in \mathbb{R}$ で補間する方法。

$e^{\theta\mathbb{i}}$ の補間#

一般的な回転を表現する複素数での補間は、常に最短円弧を描く補間となる。

なす角が180度を超える場合に最長円弧を描く補間にするには²

1. 複素数の偏角の主値の範囲を $(-\pi, \pi]$ とし $p, q$ の角度を $[0,\pi)$ で求める

2. 向きを求める

3. なす角を決定する

$e^{\frac{\theta}{2}\mathbb{i}}$ の補間#

半角形式の補間は、なす角が180度を超えると最長円弧を描く補間となる。

半角形式は半円で360度を表現し残りは繰り返しとなるので $\pm e^{\frac{\theta}{2}\mathbb{i}}$ は同じ回転を表現する。

なす角が180度を超える場合に最短円弧を描く補間にするには³

• なす角が180度を超える場合に片方の符号を反転し補間を行う

  符号を反転しても同じ回転を表現することを利用

  $$\begin{aligned} r= \begin{cases} -q & \text{if } \langle p, q \rangle \lt 0\\ +q & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}$$

球面線形補間の別形式#

指数・対数関数を用いない形式について。

$z_0=a+b\mathbb{i}, \hspace{3pt} z_1=c+d\mathbb{i} \in \mathbb{C}_1$ のなす角を $\alpha$ とし $h \in \mathbb{R}$ で補間した $z_h \in \mathbb{C}_1$ を求める。

この時 $z_1$ を元に $z_0$ に垂直な軸を $z^{'}_1$ とすると

$z^{'}_1$ は二次元の場合は90度回転として求められる。

より一般的には

または簡潔に

$s=\langle z_0, z_1 \rangle=\cos{(\alpha)}$ とすると分母は

$$\begin{aligned} |z_1 - \langle z_0, z_1 \rangle z_0| &=|z_1 - s z_0|\\ &=\sqrt{(c-sa)^2 + (d-sb)^2}\\ &=\sqrt{s^2 |z_0|^2 - 2s \langle z_0,z_1 \rangle + |z_1|^2}\\ &=\sqrt{s^2 - 2s^2 + 1}\\ &=\sqrt{1 - s^2}\\ &=\sqrt{1 - \cos^{2}{(\alpha)}}\\ &=\sqrt{\sin^{2}{(\alpha)}} =\sin{(\alpha)} \end{aligned}$$

$z^{'}_1$ を $z_h$ に代入すると

途中、三角関数の加法定理を利用した。

このままでは分母に $\sin{(\alpha)}$ があるため $\alpha \to 0$ で発散するので

$1 - |\langle z_0, z_1 \rangle| \le \epsilon$ ならば線形補間に切り替え回避をする。

スプライン補間の補足#

未知数 $s_{i}$ の導出方法。

• $\operatorname{SLERP}$ の微分

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dh} \operatorname{SLERP}(p,q;h) &=\frac{d}{dh} p \cdot (\overline{p} \cdot q)^{h}\\ &=p \cdot \frac{d}{dh} \exp{(h \log{(\overline{p} \cdot q)})}\\ &=p \cdot \exp{(h \log{(\overline{p} \cdot q)})} \cdot \log{(\overline{p} \cdot q)}\\ &=\operatorname{SLERP}(p,q;h) \cdot \log{(\overline{p} \cdot q)} \end{aligned}$$

• $\operatorname{Squad}(p_{i-1}, p_{i}, s_{i-1}, s_{i}, 1) = \operatorname{Squad}(p_{i}, p_{i+1}, s_{i}, s_{i+1}, 0)$

  $$\begin{aligned} \operatorname{Squad}(p_{i-1}, p_{i}, s_{i-1}, s_{i}; 1) &=\operatorname{SLERP}(\operatorname{SLERP}(p_{i-1}, p_{i}; 1), \operatorname{SLERP}(s_{i-1}, s_{i}; 1); 0)\\ &=\operatorname{SLERP}(p_{i}, s_{i}; 0)\\ &=p_{i}\\ \\ \operatorname{Squad}(p_{i}, p_{i+1}, s_{i}, s_{i+1}; 0) &=\operatorname{SLERP}(\operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; 0), \operatorname{SLERP}(s_{i}, s_{i+1}; 0), 0)\\ &=\operatorname{SLERP}(p_{i}, s_{i}; 0)\\ &=p_{i} \end{aligned}$$

• $\operatorname{SQUAD}$ の微分

  $g_{i}(h) = \overline{\operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h)} \cdot \operatorname{SLERP}(s_{i}, s_{i+1}; h)$ とすると

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dh} \operatorname{Squad}(p_{i}, p_{i+1}, s_{i}, s_{i+1}; h) &=\frac{d}{dh} \operatorname{SLERP}(\operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h), \operatorname{SLERP}(s_{i}, s_{i+1}; h), 2h(1-h))\\ &=\frac{d}{dh} \operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h) \cdot g_{i}(h)^{2h(1-h)}\\ &=\left(\frac{d}{dh} \operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h)\right) \cdot g_{i}(h)^{2h(1-h)} - \operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h) \cdot \left(\frac{d}{dh} g_{i}(h)^{2h(1-h)}\right)\\ &=\operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h) \cdot \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} \cdot g_{i}(h)^{2h(1-h)} - \operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; h) \cdot \left(\frac{d}{dh} g_{i}(h)^{2h(1-h)}\right) \end{aligned}$$

• $g_{i}(h)^{2h(1-h)}$ の微分

  $g_{i}(h)=\cos{(\theta_{g_{i}(h)})} + \sin{(\theta_{g_{i}(h)})} \mathbb{i}, \hspace{5pt} f(h)=2h(1-h)$ と置いて

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dh} g_{i}(h)^{2h(1-h)} &=\frac{d}{dh} \exp{(f(h) \cdot \log{(g_{i}(h))})}\\ &=\frac{d}{dh} \exp{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)} \mathbb{i})}\\ &=\frac{d}{dh} \left(\cos{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)})} + \sin{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)})} \mathbb{i}\right)\\ &=-\sin{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)})} \cdot \left(\frac{d}{dh} f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)}\right) - \cos{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)})} \cdot \left(\frac{d}{dh} f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)}\right) \mathbb{i}\\ &=-\sin{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)})} \cdot \left(\left(\frac{d}{dh} f(h)\right) \cdot \theta_{g_{i}(h)} + f(h) \cdot \left(\frac{d}{dh} \theta_{g_{i}(h)}\right)\right) \\&\hspace{11pt} - \cos{(f(h) \cdot \theta_{g_{i}(h)})} \cdot \left(\left(\frac{d}{dh} f(h)\right) \cdot \theta_{g_{i}(h)} + f(h) \cdot \left(\frac{d}{dh} \theta_{g_{i}(h)}\right)\right) \mathbb{i} \end{aligned}$$

• $\frac{d}{dh} \operatorname{Squad}(p_{i-1}, p_{i}, s_{i-1}, s_{i}, 1) = \frac{d}{dh} \operatorname{Squad}(p_{i}, p_{i+1}, s_{i}, s_{i+1}, 0)$

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dh} \operatorname{Squad}(p_{i-1}, p_{i}, s_{i-1}, s_{i}, 1) &=\operatorname{SLERP}(p_{i-1}, p_{i}; 1) \cdot \log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - \operatorname{SLERP}(p_{i-1}, p_{i}; 1) \cdot \left(\frac{d}{dh} g_{i-1}(h)^{2h(1-h)}\right)(1)\\ &=p_{i} \cdot \log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - 2 p_{i} \cdot \theta_{g_{i-1}(1)} \mathbb{i}\\ &=p_{i} \cdot \left(\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - 2 \log(g_{i-1}(1))\right)\\ &=p_{i} \cdot \left(\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - 2 \log(\overline{p_{i}} \cdot s_{i})\right)\\ \\ \frac{d}{dh} \operatorname{Squad}(p_{i}, p_{i+1}, s_{i}, s_{i+1}, 0) &=\operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; 0) \cdot \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} - \operatorname{SLERP}(p_{i}, p_{i+1}; 0) \cdot \left(\frac{d}{dh} g_{i}(h)^{2h(1-h)}\right)(0)\\ &=p_{i} \cdot \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} - 2 p_{i} \cdot \theta_{g_{i}(0)} \mathbb{i}\\ &=p_{i} \cdot \left(\log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} - 2 \log{(g_{i}(0))}\right)\\ &=p_{i} \cdot \left(\log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} - 2 \log{(\overline{p_{i}} \cdot s_{i})}\right) \end{aligned}$$

• 上式より

  $$\begin{aligned} p_{i} \cdot \left(\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - 2 \log(\overline{p_{i}} \cdot s_{i})\right) &=p_{i} \cdot \left(\log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} - 2 \log{(\overline{p_{i}} \cdot s_{i})}\right)\\ \\ \log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - 2 \log(\overline{p_{i}} \cdot s_{i}) &=\log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})} - 2 \log{(\overline{p_{i}} \cdot s_{i})}\\ 4 \log{(\overline{p_{i}} \cdot s_{i})} &=\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})}\\ \\ \overline{p_{i}} \cdot s_{i} &=\exp{\left(\frac{\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})}}{4}\right)}\\ \\ s_{i} &=p_{i} \cdot \exp{\left(\frac{\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})}}{4}\right)} \end{aligned}$$

  $\overline{p_1 \cdot p_2}=\overline{p_1} \cdot \overline{p_2}, \hspace{3pt} \log(\overline{p})=-\log(p), \hspace{3pt} \overline{p}=p^{-1}$ を利用し

  $$\begin{aligned} s_{i} &=p_{i} \cdot \exp{\left(\frac{\log{(\overline{p_{i-1}} \cdot p_{i})} - \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})}}{4}\right)}\\ &=p_{i} \cdot \exp{\left(\frac{\log{(\overline{p_{i-1} \cdot \overline{p_{i}}})} - \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})}}{4}\right)}\\ &=p_{i} \cdot \exp{\left(- \frac{\log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i-1})} - \log{(\overline{p_{i}} \cdot p_{i+1})}}{4}\right)}\\ &=p_{i} \cdot \exp{\left(- \frac{\log{(p_{i}^{-1} \cdot p_{i-1})} - \log{(p_{i}^{-1} \cdot p_{i+1})}}{4}\right)} \end{aligned}$$

  四元数 $p_{i} \in {H}_1$ なら $\overline{p_1 \otimes p_2}=\overline{p_2} \otimes \overline{p_1}$

四元数のスプライン補間⁴と同様となる。

C++ での実装例#

GitHub Gist

参考文献#

1. Jim Van Verth 2012 Understanding Rotations
2. Erik B. Dam, Martin Koch, Martin Lillholm 1998 Quaternions, Interpolation and Animation